中学生报：逐步逼近求

　　法锉一个圆形工件，总是先锉一个多边形，然后逐步逼近越来越接近圆形，锉到相当程度就算圆形了。用天平称质量，总是在盘中放入砝码若干。多了，去掉一些；少了，再增加一些。经过几次调整，天平就会平衡从而称出物体质量。

　　上面所用的方法就是逐步逼近的方法，简称为逐步逼近法。这种方法在数学中十分有用，如，

　　求方程组

　　6x-y-z＝20 ①x2＋y2＋z2＝1979 ②

　　的正整数解。

　　分析含有三个未知数的两个方程，一般解是不能确定的。但这里要求的是正整数解，且两个方程有一定特点，从而弥补了方程个数的不足。借助于逐步逼近法，设法缩小解不能存在的范围。

　　第一次逼近：注意到方程①和②中，y，z的系数分别相同；又由②知x2＞0，所以y2＋z2＜1979。又2xy≤y2＋z2，所以(y＋z)2≤2?穴y2＋z2?雪＜3958＜632，所以y＋z≤62。从而y，z都可能取61个不同的值。

　　第二次逼近：从方程①得6x＝20＋y＋z≤82，所以x≤13。从而x可能取13个不同的值。

　　第三次逼近：由x≤13及方程②得y2＋z2＝1979-x2≥1979-132＝1810。所以y，z中必有一个数不小于31。再由方程①得6x＝20＋y＋z≥51，所以x≥9。这样，x只可能取9，10，11，12，13。

　　第四次逼近：从方程可以看到，x不能为偶数。因为，由①可知，x为偶数则y，z必有相同的奇偶性。若y，z同为偶数，则三个偶数的平方和不可能是奇数1979；若y，z同为奇数，则一个偶数、两个奇数的和也不可能是奇数。

　　至此，x只可能有两个值：11，13。代入方程组，求出y，z得

　　x＝11，y＝43，z＝3， x＝11，y＝3，z＝43，

　　x＝13，y＝21，z＝37， x＝13，y＝37，z＝21。

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